当前位置: 首页 > >

2005年辽宁省大连市初中毕业学业测验数学测试题及答案(课改区)2

发布时间:

2005 年大连市初中毕业升学统一考试



学(课改地区)

本试卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)

说明:下面各题都给出代号为 A、B、C、D 的四个答案,请把唯一正确的答案代号填到

题后的括号内。

1.在*面直角坐标系中,下列各点在第二象限的是(

A、(2,1) B、(2,-1)

C、(-2,1)

2.下列各式运算正确的是(



) D、(-2,-1)

A、 x3 ? x2 ? x5 B、 x3 ? x2 ? x C、 x3 ? x2 ? x6 D、 x3 ? x2 ? x

3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则 sinB 的值是(



A、 3 5

B、 4 5

C、 3 4

D、 4 3

4.已知两圆的半径分别为 1 和 4,圆心距为 3,则两圆的位置关系是( )

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

5.张华同学的身高为 1.6M,某一时刻他在阳光下的影长为 2M,与他邻*的一棵树的影

长为 6M,则这棵树的高为(



A、3.2M B、4.8M C、5.2M

D、5.6M

6.要调查某校初三学生周日的睡眠时间,选取调查对象最合适的是(



A、 选取一个班级的学生

B、选取 50 名男生

C、选取 50 名女生

D、随机选取 50 名初三学生

O

B

7.如图 1,A、C、B 是⊙O 上三点,若∠AOC=40°,则

∠ABC 的度数是(



A、10° B、20° C、40° D、80°

8.图 2 是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图(支点在中点处),

A

C

图1

则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是(



乙 40kg





图2

丙 50kg

40 50 A
40 50

C 1 / 17

40 50 B
40 50 D

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

说明:将下列各题结果填到题后的横线上。

9.如果水位上升 1.2M,记作+1.2M,那么水位下降 0.8M 记作_______M。

10.方程 1 ? 1 的解为________。

B

x

11.若点(2,1)在双曲线 y ? k 上,则 k 的值为_______。

O

x

12.甲、乙两班各有 45 人,某次数学考试成绩的中位数

C

分别是 88 分和 90 分,若 90 分及 90 分以上为优秀,则优秀

A

人数多的班级是____________。

图3

13.如图 3,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,且

AB=AC,则∠C 的度数是____________。

14.如图 4,在两个同心圆中,三条直径把大圆分成相等的六部分,

若大圆的半径为 2,则图中阴影部分的面积是________。

三、解答题(本题共 5 小题,其中 15、16 题各 8 分,17、18 题

图4

各 9 分,19 题 10 分,共 44 分)

15.已知

y

?

x2 ? 2x ?1 x2 ?1 ?

x2 ? x x ?1

?

1 x

? 1 ,试说明在右边代数式有意义的条件下,不论

x

为何值,y 的值不变。

16.如图 5,AB∥CD,AB=CD,点 B、E、F、D 在一条直线 上,∠A=∠C,求证:AE=CF。
说明:证明过程中要写出每步的证明依据

D AF

BE

C

图5

17.某企业的年产值在两年内从 1000 万元增加到 1210 万元,求*均每年增长的百分率。 2 / 17

18.为了解某中学男生的身高情况,随机抽取若干名男生进行身高测量,将所得到的数

据整理后,画出频数分布直方图(如图 6),图中从左到右依次为第 1、2、3、4、5 组。

(1)求抽取了多少名男生测量身高。 (2)身高在哪个范围内的男生人数最多?(答出是
第几小组即可) (3)若该中学有 300 名男生,请估计身高为 170cm
及 170cm 以上的人数。

人数 16 12 10
6

身高(cm)

O

154.5 164.5 174.5 159.5 169.5 179.5

图6

19.在数学活动中,小明为了求

1 2

?

1 22

?

1 23

?

1 24

?????

1 2n

的值(结果用 n 表示),设计

如图 7-1 所示的几何图形。

(1)请你利用这个几何图形求

1? 2

1 22

?

1 23

?

1 24

?????

1 2n

的值为__________。

1

1

22

1

2

1 24

23

(2)请你利用图 7-2,再设计一个能求

1? 2

1 22

?

1 23

1 ? 24

?????

1 2n

的值的几何图形。

图 7-1

图 7-2

四、解答题(本题共 4 小题,其中 20、21 题各 7 分,22、23 题各 8 分,共 30 分) 20.有一个抛两枚硬币的游戏,规则是:若出现两个正面,则甲赢;若出现一正一反, 则乙赢;若出现两个反面,则甲、乙都不赢。 (1) 这个游戏是否公*?请说明理由; (2) 如果你认为这个游戏不公*,那么请你改变游戏规则,设计一个公*的游戏;如
果你认为这个游戏公*,那么请你改变游戏规则,设计一个不公*的游戏。
3 / 17

21.如图 8,△ABC 和△A’B’C’关于直线 MN 对称, △A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直线 EF 对称。 (1) 画出直线 EF; (2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O,试探究∠BOB’’
与直线 MN、EF 所夹锐角α 的数量关系。

M

A

A’

B C

B’ B’’

A’’

C’

N

C’’

图8

22.如图 9-1、9-2、9-3、…、9-n,M、N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC、正方

形 ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCDE…的边 AB、BC 上的点,且 BM=CN,

连结 OM、ON。 A
MO B NC
图 9-1

A

D

O M
N

B

C

图 9-2

E
AO D M N BC 图 9-3

F

G

E

O

D

AM N

C

B

图 9-n

(1)求图 9-1 中∠MON 的度数; (2)图 9-2 中∠MON 的度数是_________,图 9-3 中∠MON 的度数是_________; (3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案)。

y(M)

23.甲车在弯路作刹车实验,收集到的数据如下表所示:

速度 x(千 M/小时) 0 5 10 15 20 25 …

刹车距离 y(M) 0 3 2 15 6 35 …

4

4

4

(1) 请用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,

4 / 17

35 4

6

15

4 2 3

4 O

5 10 15 20 25

图 10

在图 10 所示的坐标系中画出甲车刹车距离 y(M)与 速度 x(千 M/时)的函数图象,并求函数的解读式。

X(千 M/时)

(2)在一个限速为 40 千 M/时的弯路上,甲、乙两车相向

而行,同时刹车,但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的

刹车距离分别为 12M 和 10.5M,又知乙车的刹车距离 y(M)与速度 x(千 M/时)满足

函数 y ? 1 x ,请你就两车的速度方面分析相撞的原因。 4

y

24.已知

A1、A2、A3

是抛物线

y

?

1 2

x2

上的三点,

A1B1、A2B2、A3B3 分别垂直于 x 轴,垂足为 B1、B2、

A3 C A1 A2

B3,直线 A2B2 交线段 A1A3 于点 C。 (1) 如图 11-1,若 A1、A2、A3 三点的横坐标依次 为 1、2、3,求线段 CA2 的长。

O

B1 B2 B3

x

图 11-1

(2)如图 11-2,若将抛物线 y ? 1 x2 改为抛物线

y

2

y

?

1 2

x2

?

x

? 1,A1、A2、A3

三点的横坐标为连续

A3 C

整数,其他条件不变,求线段 CA2 的长。

(3)若将抛物线 y ? 1 x2 改为抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ,

2

O

A1、A2、A3 三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,

A1 A2 x
B1 B2 B3

请猜想线段 CA2 的长(用 a、b、c 表示,并直接写出答案)。

图 11-2

5 / 17

25.如图 12,P 是 y 轴上一动点,是否 存在*行于 y 轴的直线 x=t,使它与直线
y=x 和直线 y ? ? 1 x ? 2 分别交于点 D、E 2
(E 在 D 的上方),且△PDE 为等腰直角三 角形。若存在,求 t 的值及点 P 的坐标; 若不存在,请说明原因。

y O

y=x

y=-

1 2

x+2

x

图 12

F

AD

26.如图 13-1,操作:把正方形 CGEF 的对角线

CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上(CG>BC),B C

M

E

取线段 AE 的中点 M。

探究:线段 MD、MF 的关系,并加以证明。 说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题

G 图 13-1

的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求

F

E

至少写 3 步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,

A

M

D

可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,

BC

G

完成你的证明。

图 13-2

注意:选取①完成证明得 10 分;选取②完成证明得

7 分;选取③完成证明得 5 分。

6 / 17

① DM 的延长线交 CE 于点 N,且 AD=NE;

② 将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°(如图 13-2),

其他条件不变;③在②的条件下且 CF=2AD。
附加题:将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后 (如图 13-3),其他条件不变。探究:线段 MD、 MF 的关系,并加以证明。

AD

F

BC

M

E

G 图 13-3

2005 年大连市初中毕业升学统一考试 数学参考答案及评分标准(课改地区)
一、 选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1. C。2.D。3.A。4.D。5.B。6.D。7.B。8.C。
二、 填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 9.-0.8;10。x=1;11。2;12。乙班;13。45°;14。2π 三、 解答题(本题共 5 小题,其中 15、16 题各 8 分,17、18 小题各 9 分,19 题 10
分,共 44 分)

15.解:∵

y

?

x

2

? 2x ? x2 ?1

1

?

x2 ? x x ?1

?

1 x

?1

= ? x ?1?2 ? x(x ?1) ? 1 ?1…………………………………………3 分
(x ?1)(x ?1) x ?1 x

= ? x ?1?2 ? x ?1 ? 1 ?1…………………………………………5 分
(x ?1)(x ?1) x(x ?1) x
= 1 ? 1 ?1…………………………………………………………………6 分 xx
=1…………………………………………………………………………7 分 所以,在右边代数式有意义的条件下,不论 x 为何值,y 的值不变。……8 分 16.证明:方法一:∵AB∥CD,………………………………………………………1 分 ∴∠B=∠D(两直线*行,内错角相等)………………………3 分
又∵AB=CD,∠A=∠C,…………………………………………4 分 ∴△ABE≌△CDF(ASA)。………………………………………6 分
7 / 17

∴AE=CF(全等三角形对应边相等)。……………………………8 分

方法二:连结 AD、BC。

∵AB∥CD,AB=CD,……………………………………………1 分

∴四边形 ABCD 是*行四边形(一组对边*行且相等的四边形是*行四边形)。

∴AD∥BC,AD=BC(*行四边形对边*行且相等)

∠BAD=∠DCB(*行四边形对角相等)。……………………2 分

∴∠CBF=∠ADE(两条直线*行,内错角相等)。……………3 分

又∵∠BAE=∠DCF,∴∠EAD=∠FCB。…………………………4 分

∴△AED≌△CFB(ASA)…………………………………………6 分

∴AE=CF(全等三角形对应边相等)……………………………8 分

17.解:设*均每年增长的百分率为 x。………………………………………………1 分

根据题意,得 1000(1+x)2=1210……………………………………………5 分

1? x ? ?1.1,……………………………………………………6 分

解这个方程,得 x1=0.1=10%,x2=-2.1。………………………………………7 分 由于增长率不能为负数,所以 x=-2.1 不符合题意,因此符合本题要求的 x 为

0.1=10%………………………………………8 分

答:*均每年增长的百分率为 10%…………………………………………………9 分

18.解:(1)6+10+16+12+6=50(名)。……………………………………………2 分

答:抽取了 50 名男生测量身高。………………………………………………3 分

(2)3.……………………………………………………………………………5 分

(3)12 ? 6 ? 18 ? 0.36 …………………………………………………………7 分 50 50

300×0.36=108(名)………………………………………………………8 分

估计身高为 170cm 及 170cm 以上的人数为 108 名。…………………………9 分

19.解:(1)1 ?

1 2n

。………………………………………………………………………4



(2)如图 1-1 或如图 1-2 或如图 1-3 或如图 1-4 等,图形正确。……10 分

1

1 22

2

1
1 24

23 ???

11

1 22 1 23

2

24? ? ?

1 2

1 22

1
23 ? ? ?

1
2 ??? 1 1
23 22

四、 解答题(本题共 4 小题,其中 20、21 题各 7 分,22、23 题各 8 分,共 30 分) 20.解:(1)不公*。……………………………………………………………………1 分
因为抛掷两枚硬币,所有机会均等的结果为: 正正,正反,反正,反反。……………………………………………………2 分
8 / 17

所以出现两个正面的概率为 1 ,………………………………………………3 分 4

出现一正一反的概率为 2 ? 1 。………………………………………………4 分 42
因为二者概率不等,所以游戏不公*。………………………………………5 分

(2) 游戏规则一:若出现两个相同面,则甲赢;若出现一正一反(一反一

正),则乙赢……………………………………………………………………7 分

游戏规则二:若出现两个正面,则甲赢;若出现两个反面,则乙赢;若出

现一正一反,则甲、乙都不赢。……………………………………………7 分

21.解:(1)如图 2,连结 B’B’’。 ………1 分 作线段 B’B’’的垂直*分线 EF。………2 分

M

A

A’

E

则直线 EF 是△A’B’C’和△A’’B’’C’’的对称轴。…3 分

(3) 结 B’O。

B

∵△ABC 和△A’B’C’关于 MN 对称,

B’ B’’

A’’

C C’

∴∠BOM=∠B’OM………………………………………………N……………C’…’ 5 分

又∵△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于 EF 对称,

F

图2

∴∠B’OE=∠B’’OE。……………………………………………………………6 分

∴∠BOB’’=∠BOM+∠B’OM+∠B’OE+∠B’’OE

=2(∠B’OM+∠B’OE)

=2α 。

即∠BOB’’=2α …………………………………………………………………6 分

22.解:(1)法一:连结 OB、OC。

∵正△ABC 内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30°,

∠BOC=120°。………………………1 分

又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN。……………………2 分

∴∠BOM=∠OCN。…………………………………………………3 分

∴∠MON=∠BOC=120°。………………………………………4 分

法二:连结 OA、OB。

∵正△ABC 内接于⊙O,∴AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,

∠AOB=120°。……………………1 分

又∵BM=CN,∴AM=BN,又∵OA=OB

∴△AOM≌△BON。……………………………………………2 分

∴∠AOM=∠BON。……………………………………………3 分

∴∠AON=∠AOB=120°.…………………………………………4 分

(2)90°,72°.………………………………………………………………6 分

(3) ?MON ? 360? 。…………………………………………………………8 分 n

23.解:(1)如图 3,画图正确。………………………1 分 设函数的解读式为 y=ax2+bx+c。………2 分

y(M)

9 / 17

∵图象经过点(0,0)、(10,2)、(20,6), ∴c=0。



?2 ??6

? ?

100a 400a

?10b ? 0 ? 20b ? 0

………………………3



解得

???a ? ???b

? ?

1 100 1 10

………………………………4



∴函数的解读式为 y ? 1 x2 ? 1 x ………………5 分 100 10

(2)∵y=12,∴

y

?

1 100

x2

?

1 10

x

=12,解得

x1=30,

x2=-40(不符合题意,舍去)………………………………………………6 分

又∵y 乙=10.5,∴ 1 x ? 10.5 ,x=42。………………………………………7 分 4

因为乙车速度为 42 千 M/时,大于 40 千 M/时,

所以,就速度方面原因,乙车超速,导致两车相撞。…………………………8 分

五、 解答题与附加题(本题共 3 小题,其中 24、25 题各 12 分,26 题 10 分,共 34

分,附加题 5 分,但全卷累计不超过 150 分)

24.解:(1)方法一:∵A1、A2、A3 三点的横坐标依次为 1、2、3,

∴A1B1=

1 ?12 2

?

1 2

,A2B2=

1 ? 22 2

?

2

,A3B3=

1 2

? 32

?

9 2

…1



设直线 A1A3 的解读式为 y=kx+b。



?1

?? ? ?

2 9

?? 2

? ?

k ?b 3k ? b

?k ? 2

解得

? ??? b

?

?

3 2

∴直线

A1A2

的解读式为

y

?

2x

?

3 2



∴CB2=2×2-

3 2



5 2

…………………………………………2



∴CA2=CB2-A2B2=

5 2

-2=

1 2

。………………………………3



方法二:∵A1、A2、A3 三点的横坐标依次为 1、2、3,

∴A1B1=

1 2

?12

?

1 2

,A2B2=

1 ? 22 2

?

2

,A3B3=

1 2

? 32

?

9 2

…1



10 / 17

由已知可得 A1B1∥A3B3,

∴CB2= 1 (A1B1+A3B3)= 1 ( 1 + 9 )= 5 。……………2 分

2

222 2

∴CA2=CB2-A2B2=

5 2

-2=

1 2

………………………………3



(2) 方法一:设 A1、A2、A3 三点的横坐标依次 n-1、n、n+1。



A1B1=

1 2

(n

?1)2

?

(n

?1)

?1

,A2B2=

1 2

n2-n+1,

A3B3=

1 2

(n+1)2-(n+1)+1。………………………………4



设直线 A1A3 的解读式为 y=kx+b



???(n ? ???(n

?1)k ? 1)k

? ?

b b

? ?

1 2 1 2

(n (n

? 1) 2 ? 1)2

? ?

(n (n

?1) ? 1)

?1
……………………………5
?1



?k ? n ?1

解得

? ???b

?

?

1 2

n2

?

3 2

…………………………………………………6



∴直线

A1A3

的解读式为

y

?

(n

?1)x

?

1 2

n2

?

3 2

…………………7



∴CB2=n(n-1)-

1 2

n2+

3 2



1 2

n2-n+

3 2

……………………8



∴CA2=

CB2-A2B2=

1 2

n2-n+

3 2



1 2

n2+n-1=

1 2

。……………9



方法二:设 A1、A2、A3 三点的横坐标依次 n-1、n、n+1。



A1B1=

1 2

(n

?1)2

?

(n

?1)

?1 ,A2B2=

1 2

n2-n+1,

A3B3=

1 2

(n+1)2-(n+1)+1。………………………………4



由已知可得 A1B1∥A3B3,

∴CB2=

1 2

(A1B1+A3B3)…………………………………………6



=

1 2

? ??

1 2

?

n

?

1?2

?

?

n

?

1?

?

1

?

1 2

?

n

?

1?2

?

?

n

?

1?

?

1???

……7



= 1 n2 ? n ? 3 …………………………………………………8 分

2

2

11 / 17

∴CA2=

CB2-A2B2=

1 2

n2-n+

3 2



1 2

n2+n-1=

1 2

。……………9



(3) 当 a>0 时,CA2=a;当 a<0 时,CA2=-a。…………………………12 分 25.解:存在。

方法一:当 x=t 时,y=x=t、当 x=t 时, y ? ? 1 x ? 2 ? ? 1 t ? 2 。

2

2

∴E 点的坐标为(t, ? 1 t ? 2 ),D 点坐标为(t,t)。……………………2 分 2

∵E 在 D 的上方,∴ DE ? ? 1 t ? 2 ? t ? ? 3 t ? 2 ,且 t< 4 。……………3 分

2

2

3

∵△PDE 为等腰直角三角形,∴PE=DE 或 PD=DE 或 PE=PD。………………4 分

若 t>0,PE=DE 时, ? 3 t ? 2 ? t 。 2

∴ t ? 4 , ? 1 t ? 2 ? 8 。∴P 点坐标为(0, 8 )。………………………………5 分

52

5

5

若 t>0,PD=DE 时, ? 3 t ? 2 ? t , 2

∴ t ? 4 。∴P 点坐标为(0, 4 )。………………………………………………6 分

5

5

若 t>0,PE=PD 时,即 DE 为斜边,∴ ? 3 t ? 2 ? 2t 。………………………7 分 2

∴ t ? 4 ,∴DE 的中点的坐标为(t, 1 t ?1),

7

4

∴P 点坐标为(0, 8 )。………………………………………………………8 分 7

若 t<0,PE=PD 时,由已知得 DE=-t, ? 3 t ? 2 ? ?t , 2

t=4>0(不符合题意,舍去),此时直线 x=t 不存在。………………………10 分

若 t<0,PE=PD 时,即 DE 为斜边时,由已知得 DE=-2t,

? 3 t ? 2 ? ?2t ,…………………………………………………………………11 分 2

∴ t ? ?4, 1 t ?1 ? 0 。∴P 点坐标为(0,0)…………………………………12 分 4

综上所述:当 t= 4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0, 8 )或

5

5

(0, 4 );当 t ? 4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0, 8 );

5

7

7

当 t=-4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0,0)。

12 / 17

方法二:设直线 y ? ? 1 x ? 2 交 y 轴于点 A,交直线 y=x 于点 B,过 B 做 BM 垂 2
直于 y 轴,垂足为 M,交 DE 于点 N。∵x=t *行于 y 轴,∴MN= t 。…1 分

?y ? x



?

? ??

y

?

?

1 2

x

?

2

解得

? ??

x

?

?y

? ?

4 3 4

∴B

点坐标为(

4 3



4 3

),

?? 3

∴BM= 4 …………………………………………………………………………2 分 3

当 x=0 时, y ? ? 1 x ? 2 ? 2 ,∴A 点坐标为(0,2),∴OA=2。…………3 分 2

∵△PDE 为等腰直角三角形,∴PE=DE 或 PD=DE 或 PE=PD。………………4 分

如图 4,若 t>0,PE=DE 和 PD=DE 时,∴PE=t,PD=t,∵DE∥OA,

∴△BDE∽△BOA,∴ DE ? BN ………5 分

y

OA BM



t 2

?

4 ?t 3
4

∴t=

4 5



3

当 t= 4 时, y ? ? 1 x ? 2 ? 8 , y ? x ? 4 。

5

2

5

5

A E
MN OD

y=x

B

y=-

1 2

x+2

x

∴P 点坐标为(0, 8 )或(0, 4 )。…6 分

5

5

若 t>0,PD=PE 时,即 DE 为斜边,∴DE=2MN=2t。

∵DE∥OA,∴△BDE∽△BOA∴ DE ? BN …7 分 OA BM

y 图4

∴ 2MN

?

4 ? MN 3

,∴MN=t= 4



2

4 3

7

DE 的中点的纵坐标为 1 t ?1 ? 8 。

4

7

∴P 点的坐标为(0, 8 )………………8 分 7

E A
N M
O
D

y=x

B

y=-

1 2

x+2

x

如图 5,若 t<0,PE=DE 或 PD=DE 时,

∵DE∥OA,

13 / 17

图5

∴△BDE∽△BOA∴ DE ? BN …………9 分 OA BM

DE=-4(不符合题意,舍去),此时直线 x=t 不存在。…………………10 分 若 t<0,PE=PD 时,即 DE 为斜边,∴DE=2MN=-2t。
∵DE∥OA,∴△BDE∽△BOA∴ DE ? BN ……………………………11 分 OA BM

∴ 2MN

?

4 ? MN 3

,∴MN=4,∴t=-4, 1 t ?1 ? 0 。

2

4 3

4

∴P 点坐标为(0,0)…………………………………………………………12 分

综上所述:当 t= 4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0, 8 )或

5

5

(0, 4 );当 t ? 4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0, 8 );

5

7

7

当 t=-4 时,△PDE 为等腰直角三角形,此时 P 点坐标为(0,0)。

26.关系是:MD=MF,MD⊥MF。 证法一:如图 6,延长 DM 交 CE 于 N,连结 FD、FN。 ∵正方形 ABCD,∴AD∥BE,AD=DC ∴∠1=∠2。…………………………………1 分

F

A D5 13

6

BC

M4 2 E N

又∵AM=EM,∠3=∠4,……………………2 分

∴△ADM≌△ENM……………………………3 分 ∴AD=EN,MD=MN。…………………………4 分

G 图6

∵AD=DC,∴DC=NE。…………………………5 分

又∵正方形 CGEF,

F

∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°。 A D

H

又∵正方形 ABCD,∴∠BCD=90°。

13

∴∠DCF=∠NEF=45°,……………………6 分 B ∴△FDC≌△FNE。……………………7 分

C

M42 E N

∴FD=FN,∠5=∠6……………………8 分 ∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。………9 分 又∵DM=MN,∴MD=MF,DM⊥MF。………10 分

G 图7

证法二:如图 7,连结 AC、FD,延长 DM 交 CE 于 N,连结

CM 并延长交 FE 于 H。

∵正方形 ABCD,∴AD∥BE。∴∠1=∠2。……………………………1 分

∵AM=EM,∠3=∠4,……………………………2 分

∴△ADM≌△ENM………………………………………………3 分

14 / 17

∴MD=MN。………………………………………………4 分 ∵AC 和 CE 分别是正方形 ABCD 和 CGEF 的对角线, ∴∠ACB=∠FEC=45°,∠FCN=45°, ∴AC∥EF。同理可证△ACM≌△EHM。………………………………5 分 ∴CM=MH。………………………………………………………………6 分 ∵正方形 ABCD 和正方形 CGEF, ∴∠DCN=∠CFH=90°, ∴MC=MD=MN=MF=MH。…………………………………………7 分 ∴点 D、C、N、F 在以点 M 为圆心,MD 为半径的圆上, ∠FDN=∠DFM。…………………………………………………………8 分 ∴∠FDN=∠FCN=45°,∴∠FDN=∠DFM=45°。………………9 分 ∴MD=MF,DM⊥MF。………………………………………………10 分 证法三:如图 7,同证法二证出 MC=MD=MN=MF=MH。……………………7 分 ∴∠MCN=∠MNC,∠MCF=∠MFC。 ∵∠DMC=∠MCN+∠MNC=2∠MCN,
∠FMH=∠MCF+∠MFC=2∠MCF。……………………8 分 ∴∠DMC+∠FMH=2∠MCN+∠MCF=2(∠MCN+∠MCF)
=2∠FCE=90°……………………………9 分 ∴∠DMF=180°-90°=90°,∴DM⊥FM。…………………10 分 思路一: ∵正方形 ABCD、CGEF,∴AB=BC=CD=AD,
∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90° CF=EF=EG=CG,∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°, ∠FCE=∠FEC=45°……1 分 ∴∠DCF=∠FEC。……2 分 思路二: 延长 DM 交 CE 于 N。 ∵正方形 ABCD、CGEF,∴AD∥CE,∴∠DAM=∠NEM。……1 分 又∵∠DMA=∠NME,AM=EM, ∴△ADM≌△ENM。……2 分 思路三: ∵正方形 CGEF,∴∠FCE=∠FEC=45°。……1 分 又∵正方形 ABCD,∴∠DCF=180°-∠DCB-∠FCE=45°, ∠DCF=∠FEC=45°……2 分 选取条件① 证明:如图 6,∵正方形 ABCD∴AD∥BE,AD=DC, ∴∠1=∠2………………………………………………………1 分 ∵AD=NE,∠3=∠4, ∴△ADM≌△ENM。……………………………………………2 分
15 / 17

∴MD=MN。…………………………………………………………3 分

又∵AD=DC,∴DC=NE。……………………………………………4 分

又∵正方形 CGEF,∴FC=FE,∠FCE=∠FEN=45°。

∴∠FCD=∠FEN=45°。……………………………………………5 分

∴△FDC≌△FNE。…………………………………………………6 分

∴FD=FN,∠5=∠6,∴∠DFN=∠CFE=90°。………………7 分

∴MD=MF,MD⊥MF。……………………………………………8 分

选取条件②

证明:如图 8,延长 DM 交 FE 于 N。

∵正方形 ABCD、CGEF,

∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE

∴∠1=∠2……………………………1 分

又∵MA=ME,∠3=∠4

∴△AMD≌△EMN……………………2 分

∴MD=MN,AD=EN。∵AD=DC,∴DC=NE。………3 分

又∵FC=FE,∴FD=FN。……………………4 分

又∵∠DFN=90°,∴FM⊥MD,MF=MD。……………………5 分

选取条件③ 证明:如图 8,延长 DM 交 FE 于 N。 ∵正方形 ABCD、CGEF,

FN 42

E

∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE A ∴∠1=∠2……………………………1 分

13 M D

又∵MA=ME,∠3=∠4 ∴△AMD≌△EMN……………………2 分

BC

G

∴AD=EN,MD=MN,∵CF=2AD,EF=2EN,

图8

∴FD=FN。又∵∠DFN=90°,∴FM⊥MD,MF=MD。……………3 分

附加题: 证法一:如图 9,延长 DM 到 N, 使 MN=MD,连结 FD、FN、EN, 延长 EN 与 DC 延长线交于点 H。 ∵MA=ME,∠1=∠2,MD=MN, ∴△AMD≌△EMN ∴∠3=∠4,AD=NE。

AD

F

3

1

B

C 7 5
H

M2 4
6 N8

E

又∵正方形 ABCD、CGEF, ∴CF=EF,AD=DC,∠ADC=90°, ∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°。

G 图9

∴DC=NE。

∵∠3=∠4,∴AD∥EH。∴∠H=∠ADC=90°。

∵∠G=90°,∠5=∠6,∴∠7=∠8。

16 / 17

∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90° ∴∠DCF=∠FEN。 ∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF。 ∴FD=FN,∠DFC=∠NFE。∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。 ∴FM⊥MD,MF=MD。 证法二:如图 9,过点 E 作 AD 的*行线分别交 DM、DC 的延长线于 N、
H,连结 DF、FN。 ∴∠ADC=∠H,∠3=∠4。∵AM=ME,∠1=∠2, ∴△AMD≌△EMN ∴DM=NM,AD=EN。 ∵正方形 ABCD、CGEF, ∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,CGFE。 ∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE。 ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90° ∴∠DCF=∠5=∠NEF。 ∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF。 ∴FD=FN,∠DFC=∠NFE。∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。 ∴FM⊥MD,MF=MD。
17 / 17




友情链接: