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三维LandauLifschitz方程耦合Darwin模型的局部正则解的存在性和唯一性

发布时间:

华南师范大学 硕士学位论文 三维Landau-Lifschitz方程耦合Darwin模型的局部正则解的存 在性和唯一性 姓名:陈美凤 申请学位级别:硕士 专业:应用数学 指导教师:丁时进 20090401





在本文中,我们利用Galerkin*椒ㄖっ髁耍谟薪缯虻チǖ目 域上,Landau-Lifschitz方程耦合Darwin模型存在局部正则解;并在此基 础上进一步考察了这种解的唯一性.

关键词:Landua-Lifchitz,Darwin模型,Galerkin*植看嬖谛裕 唯一性.

Abstract
In this paper we use the Galerkin approximation method to prove local existence and uniqueness of regular solutions for Landau- Lifschitz equation coupled with Darwin model. the

Keywords:Landua-Lifchitz,Darwin model,Galerkin approxima-
tion,local existence,uniqueness.







在本文中,我们利用Galerkin*椒ㄖっ髁耍谟薪缯虻チǖ目 域上,Landau-Lifschitz方程耦合Darwin模型存在局部正则解;并在此基 础上进一步考察了这种解的唯一性.

关键词:Landua-Lifchitz,Darwin模型,Galerkin*植看嬖谛裕 唯一性.

Abstract
In this paper we use the Galerkin approximation method to prove local existence and uniqueness of regular solutions for Landau- Lifschitz equation coupled with Darwin model. the

Keywords:Landua-Lifchitz,Darwin model,Galerkin approxima-
tion,local existence,uniqueness.



华南师范大学学位论文原创性声明

本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论

文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文
的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到此声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名:


恃、美I记




油 弘年 , 3

一1廿

学位 沦文

姗 授 舻 明,

本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定,即:研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师

范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电
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保密论文注释:本学位论文属于保密范围,在

本授权:书。非保密论文注释:本学位论文不属于保密范围,适用本授权
书。

论文作者签名:储嵌凤

日期:劢7年上月弓日

月弼日

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1.

引言

在本文中,我们致力于考察铁磁体上的一个数学模型,物理上的一块铁磁 体可看作三维欧氏空间R3上的一个有界正则区域.铁磁体上任意一点z∈Q

在任一t时刻的磁化状态用向量u(t,z)∈舻表示,这个量在物理上被称
为磁矩;磁饱和状态下,lu(t,z)l=1.本文我们考虑饱和铁磁体中,磁化

向量u(t,z)与电磁场(E(t,z),n(t,z))(Maxwell方程中的电场和磁场)的*
解(ED(£,z),HD(t,z))(Darwin模型中的电场和磁场)相耦合时的进展情况,并 要求开区域Q有界正则且单连通. 向量U满足下--Landau-Lifschitz方程

I也=u A(△让+HD)一钍A(U A(△“+HD)) (t,z)E[0,卅×Q, {等=0 (t,z)∈【0,T】×独,

(1.1)

【u(o,z)=呦(z)
f—A(HD+u)=V×,+V J AEf=V×(膏D+也)


茁∈Q,

其中矿是单位外法向量. 考察这个方程与下列Darwin模型(且]]Maxwell方程的*P停┑鸟詈衔侍
V×t正
.Z
-Z

∈[0,卅×Q,



V.(HD+札)=0

-Z
.Z

【V?础=0

主翰墨
∈【0,刁×Q,

∽2,

J V?EF=0(t,z)∈【o,卅×Q, lV×E尹=0(t,z)∈[o,卅×Q,
其中,∈R3是已知量,表示电流密度;HD,E2+EP=ED
场E的*猓

(1.3) 分别是磁场日和电

为简单起见,我们对Hn和E2、EP分别提如下边值,
HD Ian=0,

Ef

18Q=0.

E尹×∥=0

(1.4)

另外,我们还要求初值uo满足如下假设条件(何)

I U0∈H3(Q),

(咒){静laQ=0,
【lU0}=1.
注记1.1在本文中,我们取所有物理常量为单位1. 注记1.2在方程组(1.2)中,前两个方程成立的情况下,后两个方程是自然满足的, 证明可见命题3.1。

注记1.3在前面所提到的Darwin模型中,我们并未对Hn和En=E?+EP
提初值.事实上,由注记2.1和3.1小节中Galerkin*獾那蠼夤炭芍眨

和ED=E{)+EP的初值可由U的初值uo所确定.
Landau—Lifschitz—Gilbert方程(L1)最初是由Landau和Lifschitz在物理领域 提出来的[61.抛物方程(3.1)在一定条件下是方程(1.1)的等价形式,不带磁场 项日D时,它与著名的调和映照热流和Schrodinger方程有着密切的联系,事实 上可以看作是这两者的叠加.因此,Landau.Lifschitz方程是一个可研究性强的 课题.

*些年来,受到文献f71,f81,【11],f12]等的作者在调和映照热流方面的研究成
果的启发,越来越多的学者开始关注并研究Landau—Lifschitz—Gilbert方程(1.1),

并获得一些成果,例如f91,【lO],【13】分别研究了方程(1.1)的解的分析性质,包括


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存在性、唯一性、正则性等.最*,对此方程的研究又有进一步的进展.在文 献f171的研究方法的启发下,Ding—Wang在文章『141中证明了,适当选取初值时, 三维或四维空间中Landau—Lifschitz方程(1-1)(不含日D)的短时间光滑解会在有 限时刻爆破;在高维空间中(包括3一D、4-D),对于方程(1.1)的解的爆破问题的研 究,这是第一个成果.在这一研究结果的激发下,Lin—Ding在文章|151中研究了三 维Landau—Lifschitz方程与Maxwell方程耦合问题的局部光滑解的存在性,并证 明了这样的解会在有限时刻爆破.

对于LL广M方程组,有一些关于其整体弱解的研究成果,如文献f161,fis],
[19]等.但对于这个耦合问题的解的正则性方面的考虑,却是一个非常大的难点, 具有一定的挑战性.Maxwell方程组(2.1)是一个双曲型方程组,这类问题的紧性 或完备性还有待完善;由于磁场日的紧性难以得到,这就使得整个方程组的解的 正则性难以获得.冈此,到现在为止,几乎没有文献考虑Landau.Lifschitz方程与

全Maxwell耦合时的解的正则性.但对于其简化问题(Landau-Lifschitz方程耦
合拟Maxwell方程)却有不少的研究成果.如文献[20】和【21】分别考虑了不带耗散 项的Landau—Lifschitz方程SULandau-Lifschitz与拟Maxwell方程耦合时一维问 题的光滑解的存在性;文献f22】则在小能量和周期边值条件下考虑了相应问题; 文献『23】和f24],f15]tlJ分别证明了二维和三维相应问题的部分正则解的存在性. 总之,由于磁场日缺乏紧性,Landau—Lifschitz方程耦合全Maxwell方程的解的 高阶正则性的获得则成为一件非常困难的事情.但我们可以试着从一些简单一 点的问题入手来侧面考察这个问题,比如,我们可以先研究一下Landau-Lifschitz 方程与Maxwell方程的简化*P停模幔颍鳎椋钅P拖囫詈鲜钡南喙匚侍猓 文献f11和f21的作者已证明,当没有高频现象或者电流变化不快时,Darwin

模型是Maxwell方程组的一个很好的*P停停幔鳎澹欤旆匠淌欠⒄狗匠蹋
而Darwin模犁是拟稳态的椭圆方程,形式上看,方程组(1.1)一(1。3)的解的正则性
是较容易获得的.对于这个问题,我们可以试着考察它的整体弱解的存在性,可 以考虑它的强解的光滑性,可以探讨光滑解是整体存在还是在某一有限时刻爆 破,等等.作为第一篇考虑Landau-Lifschitz方程耦合Darwin模型的文章,我们 在这里只研究方程组(1.1)一(1.3)的局部正则解的存在性和唯一性. 注记1.4本文中,我们用黑体日”:=(H…)3表示取值于三维欧氏空间的Sobolev 空间.用黑体Lp:=(LP)3表示取值于三维欧氏空间的Lebesgue空间. 注记1.5任意Hilbert空间X,记<-,.>x和¨llx分别为空间x的内积和范数. 特别地,<?,.>和¨IJ分别表示L2(Q)空间的内积和范数.而用¨II。标记空 间三…fQ)的范数. 下面给出本文的主要结论.首先列出的是方程组(1.1)一(1.4)的局部正则解的 存在性结论.

定理1.1.设初值Uo满足相容性条件(冗),且,∈可皖字(o,。o;H3(Q)),则存在
只与初值U0有关的时间P>0,使得对任意的时间T<r,方程组(1.1)-(1.4)有
解缸,HD,ED满足

I u,HD∈L2(o,?;H4(Q))n L。(o,r;H。(Q))n c(o,T;Hz(Q)),

{E。∈三2(o,T;H3(Q)), I』u(t,z)I=1,
命题1.1.E尹=0.
接下来给出解的稳定性(唯一性)定理.

(t,z)∈『0,TI



Q.

定理1.2.设(u1,日P,E&)和(u2,础,呀)是方程组(1.1),(1.2),(1.4)分别对应
初值U01,U02和已知函数^,丘∈W:F(o,co;H3(Q))的两组解.则对任意时 间0<T<min(矸,翳),存在正常数C(T)使得, ~
’‘

,T

sup(1l札l—u211备:+lI曰?一日字II备。)+/(JJul一u211备。+11月?一日于||备。)班


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s C(T)[1fuol—t上02I|备:+||^一厶lf2。(o,T;日,m))】.

显然,方程(1.1)一(1.4)的解是唯一的. 本文结构安排如下:在第二节,我们给Darwin模型的推导过程,证明命 题1.1并给出一些备用引理;在第三节,我们给,m,Galerkin*獾木咛迩蠼夤 程,并证明定理1.1;最后一节则给出定理1.2的证明过程.



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2.Darwin模型和预备知识
Darwin模型的推导 本小节内容可参看文献f11和f21. 前面已经提到,当没有高频现象或者电流变化不快时,Darwin模型是Maxwell 方程的一个非常好的*P停保梗梗材辏模澹纾铮睿浜停遥幔觯椋幔颍粼凇荆薄恐醒芯苛巳 有界单连通区域Darwin模型与Maxwell方程的*裕椋妫旰蹋视孟蛄糠纸舛
2.1

理,将电场E分解为散度为零与旋度为零的两个部分的和,即E=皿+Ell,
其中n和E¨分别满足V?.E上=0和V


*夥直鹞牛模搅簦牛校龋模南祝郏薄浚荆玻菀阎さ茫拧牛模桑桑剑桑

略Maxwell方程中的等后得到的.在这个新模型中,记E=n+E||和日的
o∽3),

Ell=0.Darwin模型就是通过忽

llB—BD|}=D(矿),其中77=警,"特征速度,C则是光速.可见,Darwin模型确
实是Maxwell方程的一个非常好的*P停旅妫颐墙菸南祝郏病坷粗匦 推导模型(1.2)一(1.3). 从下列Maxwell方程出发

J V×E=一百0B

v.B=0

fV×H=,+鬻
,o 1、

P一7

I v.E:o
¥1J用Hodge分解定理,将电场分解为E=n+Ell,满足 V?匝=0,V X锄=0 在方程(2.1)中忽略坌争并利用(2.2),得到*P
(2.2)

警一V 百OHD+瓦Ou+V×Ef=。


HD----_t

(2.3) (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8)



’况。~’



V?EP=0
勺.E2=0

V×EP=0
V?(HD+Ⅱ)=0 对方程(2.3)两边求旋度并利用(2.7)式,得到 V X V X日D=V×,’ 运用公式V X V X口=v(v?口)一△口和方程(2.8),得到 一A(HD+u)=V×,+V X V XⅡ

(2.9) (2.10)

在方程(2.4)两端求旋度并利用式子(2.6),可得

△E2=_~u v×(HD+乱)
由此得NDarwin模型(1.2).(1.3).



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预备知识和引理 对于本小节给出的引理,我们只给出处不作证明. 首先,我们可以在文献[1](引理1.2)中找到以下引理
2.2

引理2.1.设Q C Ra是有界连通区域,边界r=aQ是Lipschitz连续的, 记n,0≤i≤m是边界r的所有连通部分,其中ro是外边界.设向量函 数,∈厶2(Q)满足 V X,=0 z∈Q, f X∥=0 z∈r, 则,=V≯,其中≯是以下Possion问题的解 J△≯=V?f
z∈Q,

(★1)

1≯In=。t,0≤f≤m
其中阮,0≤i≤m则是下列线性方程组的解



,.

∑%%=厶f?Vx{dx,0≤i≤m. j=o
。lo

(★2)

在此,池,0≤i≤m又满足 J△施=0
in Q,

I)({Irf=6巧,0≤歹≤m

其中c巧=fr;鲁争ds,0

s i,歹≤m.

注记2.1注意,在本文中,我们假设区域Q是一个有界正则的单连通开区域,因 此放到引理2.1来看,应有m=0,Fo=F=aQ,从而)(o兰1且方程(★2)是自

然满足的.回看方程(1.3)和边界条件(1.4)W知,函数EP满足定理2.1的条件,且

有V?EP=0,将此代入方程(★1)我们有≯三Olo.虽然不能确定Olo的取值,但我 们能明确的知道EP=V妒=0.由此得到了命题1.1.因此,以后我们只需考虑问
题(1.1),(1.2),(1.4). 下一引理可在文献[31中查到 引理2.2.设Q∈Rd,d≤3是有界正则开区域,则存在一个正常数C使得,对 任意满足V-vloa=o的函数V∈H”有

IIyfJHm(Q)≤C(1tVlI-I'-lIV?yll丑m--1(Q)+IIV×vIIHm--1(哟).
接下来两条引理则出自文献『41 引理2.3.设Q是有界正则区域,则存在正常数C使得,对任意满足Numman

边值条件器=0,z∈aQ的函数u∈日2(Q)有 州f片。(Q)≤C(1lull2+IIAull2)吉,

(2.11)
(2.12)

IlW,11日,(Q)≤C(1lWll2-I-fIAull2)壹,
且若仳∈日3(rt)满足条件雾lan=0,则有

lIVullH:(Q)≤C(1lWll2+IIAull2+IIVAull2)考.
得,对任意满足透值条件雾jan=0的函数u∈日2(Q)有,
Jlull=≤C(1lull2+II△ull2)专,

(2.13)

引理2.4.设Q是三维欧氏空间酞3上的有界正则区域,则存在一个正常数C使 (2.14) (2.15) (2.16)

Wll8≤C(1lull2+II△utl2)考,
Vulli≤Cllull。。(11钆112+IIZ∑ult2)吾,



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且若Ⅱ∈H3(Q)满足条件碧Ian=0,则有
f|V2缸J13≤C((1lull2+IILXuIl2)暑+(11扎112+IIAull2){IIVAull专).
如果在引理2.2中我们令V=Vu则可得引理 引理2.5.设Q是有界正则开区域.则存在一个正常数C使得,对任意满足边值 (2.17)

条件瓦Oubn=0的函数乱∈H4(Q)有,

IIVull日。(n)≤C(1lVull2+|I△u旷+lIV舭112+IIV2△“||2)吾.
最后我们给出下一非常有用的嵌入定理([51) 引理2.6.设X,E,y是三个Banach空间,且满足X 是紧的.则有如下紧嵌入结果


(2.18)


E c

y.其中嵌入X
o。, oo.



(o)Lq(O,T;x)n{妒:警∈L1(o,T;y)】.q Lq(0,T;E)i,l≤口s (b)三oo(o,T;X)n{妒:警∈L’(o,T;y))q c(【o,纠;E)i,1<r s
这个引理通常被称为Aubin引理.



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3.

定理1.1的证明

:jI毒^^}

。,荽意到当u足够正则且模长为单位1,即ln J=l时,方程组(1.1)与下一方程组

.{券2

f毫一△u=IV让}2u+u 0



Au+乱A

HD一ⅡA似A HD)

(t,z)∈[o,卅×Q, (t,茁)∈【o,纠×09t,
z∈Q

L乱(o,z)=Uo(X)

妻L。求媲a.,ndau-Lifschitz方程耦合Daurwin模型的Galerkin逼遗稀
接下来,尊们将沿用G世er}1里*椒ㄇ蠼馕侍猓ǎ常保ǎ保玻ǎ保矗 t/2’…
仅仇哆/\J,(i=1,2,…)是方程

J『一Avi=如%,

l磐Jan=0
对应于互异特征值k,i=1,2,…的特征向量;同时令伽t@),G:1,2,…)是方程

∞-/X—wl=。舭’
对应于互异特征值九,i=1,2,…的特征向量.分别设*饴遥睿耍孜

札竹(t,z)=∑Q饥(咖t(z) 玩(t,z)=∑触(t)叫t(z) 磊(t,z)=∑‰(t)叫{(z)
它们满足方程组

也n一△un=JV乱n12乱竹+‰A△u。+‰^凰一‰A(‰A刀k) 一△(峨+‰)=V×,+V×V×珏竹
△鼠=V X(玩+吐。)
其中标量函数锄。,屈。,∞。满足如下积分微分方程

(3.2) (3.3) (3.4)

Z“‘仇+Vun’V仇如=上lV钆n1272..Vi如+上Vu。.(un
+.厶(乱礼^1-I.)饿如一u.AJn
.,n



Vv;)如
(3.5)
、 7

(un^凰)饿如


上(V玩+Vun)?V"t如=上V×,?蛾如+上V׉.V
一上V晶?Vt£,t如2上(岛+吐他)?V fnu-(”)?%如=Zu。?地如





w。如(3.6) (3.7)

Wi如

(3.8)

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改写方程(3.5)


∑触


飞∞’?Vvidx

=上
即,

∑Q知n(t)V
k=l


(t)Vvk?(∑ %n(t)vj^Vvt)dx
j=1
,l

+上( ∑M %n(t)vj,x k∑----I风(矧础一上薹%n (t)%^(∑Q七。(t)讥^∑风(t)加z)饥dx,
o“j=1
k=l 1=I

‰㈣懒以)=喜删上 ∑a七n(£)Vt,k12%饿如
k=1
n n

+∑Oik。(t)∑
k=l n

j=1

%n(t)上V%?(%^V砌如
wlmt如

+∑%。(t)
j=l
n 佗

薹刚t)fn(v,^wkmt如

∑触 ∑
J=1

%。(t)∑Q七。
k=l

∽砉删上吻^(Vk
n n



(3.9)

改写方程(3.6)为

At觑n=A‘

Z(岛nV%+哟。V%)?V妣如=上V×,?加t如+ ∑触 %n上V×%?V猢如 ∑ ∑博 a,n上%?"t如+上V×,?叫t如+ %n上V×吻?V×州z
j=l


风=∑
J=1

%n上吻?伽t出+i1上V×,?伽t如+击 ∑触 哟n上V×%?V




Wi出
(3.10)

改写方程(3.7)为


j=l

一入t一)0n=

竹。上%?△∞t如= ∑触 上(岛。%+岛。%)?V×"t如 弘 .易 ∑ ‰{叩可 n上哟?V×叫t如
竹 × 札





j=l

Jn

‰一j ×凹j∑l&j n上%.v~ 越 m。=一j1一“。/£%.V
性常微分方程组





1一九
-.I

雪挚 fn

k=l

wJ?V



wi如(3.u)

…蹩式子(3.10)代入方程(3.9),则得到关于函数口溉i=l,2,…,礼的初值非线

‰㈣懒以)2喜删上 ∑a七。(t)Vvkl2吻也如
10

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+∑‰(t)∑%。(t)厶Vvk?(吻AV优)如
k=l j=l
。Io

+∑哟n(t)∑ 嘶n上vl‘wkdx+砉上V×,‘wkdxj

ffil

k=l

1=1

。l‘

‘’“。“

+击占啦n厶V×”V×饥如)二(%^虮)。vidx
一∑%n∑Qh


l=jxdlw"mV上nmQ,lZ。=(㈦如zⅧ,×V六击+ 一 Z
l=l

m=1

。¨

。。‘oj‘

+专三‰n上弘射弧撕dx)L
且有如下初值条件

vj

A(vk



w1)’vidx,

(3?12)

O/in(o)=/uo(x)?仇如
问题(3.12).(3.13)可归结为如下类型的常微分方程组

(3.13)

J警=gi(Yl,Y2,…胁),
I ydO)=玑o,i=1,2,…,n 其中函数gi(Yl,秒2,…,鼽),i=1,2,…,竹都是关于函数可1,Y2,…,鼽的三次

多项式,故此籍,t,歹=1,2,…,n都是连续函数.由常微分方程组的解的存
在唯一性定理和可微性定理可知,方程组(3.12)一(3.13)存在局部唯一连续可

微解(a1。,Q2。,…Q。。).将解Q‰i=1,2,…,n代入方程(3.10)ap可得可微函 数反。,侥。,…熙。;进一步将a锄反。,i=1,2,…,礼代入方程(3,11),则立即可
N。

得连续函数7ln,他。,…‰。.到此,我们就解得TGalerkin*猓ǎ酢#纾龋搿
注记3.1事实上,因为方程(3.12)右端项是一个关于毗。,i=1,2,…,n多 项式,所以,解a溉i=l,2,…,礼在可解区间上是无穷次连续可微的,从 而屈竹(£),m。(£),i=1,2,…,n也是无穷次连续可微的.且由前面的论述过 程可知,标量函数屈。(£),mn(t),i=1,2,…,n的初值实际上是可由。打¨i=

1,2,…,n的初值确定,或者说函数矾,风的初值可由U。的初值确定.因此,

当方程组(1.1),(1.2)的解珏,露D E仝在时间方向足够正贝lj时,HD,E芏的初值可 由U0给出. 3.2 Galerkin*獾南妊楣兰坪途植空蚪獾拇嬖谛

在这一小节中,我们将对*猓ǎ酢#蟆#拧#┳飨妊楣兰疲媒粜远ɡ砣〕
适当收敛子列,再通过对方程(3.2).(3.4)取极限,令n_oo即可得到问题(3.1),

(1.2),(1.4)的解(让,HD,E2).
首先,在方程(3.2)两端点乘U。并在Q上积分得

去却珊)+11w,,d12./n lVI.t,n№12dz


Jj“。JJ圣JJVun JJ2
(3.14)



C(1lu。f12+fI/',u。112)llvu。112

接着在方程(3.2)两端点乘△2U。并在Q上积分,利用分部积分得

主象t(1lZXu。112)+llvZx“。112=J。+j12+j13+五
11

(3.15)

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其中

五=一/v(Ivu。J2un).VAu。dx
.,n ,.

厶=一/V(‰A△‰)?VAu竹dx
.,Q ,

/s=一/V(‰^%)?Vau。dx
.,f2

/4=/V(un A(u。^%))?Vau住dx
.,Q

,.

我们将分别对以上四项作讨论. 利用Holder不等式和引理2.4可得

厶≤/(IVu。13+21Vu。lIV2u。Ilu。I)IVA钍竹I
‘,S2

≤lIVu。¨君flV△让。||+211u。II∞lJV2U。113[1llVu。I|6IIVAun||
≤C(1lu。112+I[Au竹If2)#llVau。II+C'(1tu。112+Hau。112)暑IIVAu。II鲁,(3.16)
以上估计用到了内插不等式(2.14),(2.15)和(2.17). 用Sobolev嵌入和内插不等式,可对j12作如下估计

已=一/(Vu。^△u付)?Vau。dx
.,Q

≤IIVu。11611Au。11311VAu。IJ ≤C(1lu。f|2+lf△乱。I|2)IIVA札。II+C(1lu。||2+I|△仳。|J2)署|fV△乱nII#,
这里用到了不等式(2.15)和(2.1T). 利用不等式(2.14)和(2.15)可得 (3.17)

/s≤/(IVu。l|凰I+J乱。IIVHnl)IVA札。I如
.,n

S(I[Vu。116f|%113+Ilu。Il。。IIV凰II)IIVAu。JI ≤C(1lu。112+ll△让。112)墨I|风11日z IlVau。II
接着考虑最后一项厶
14=厶1+142+14s,

(3.18)

其中


141=/Vun^(un A凰)?Vaundx,
.,iZ ,

/42=/un^(Vun
‘,n , d‘Z

A月‰)?VAundx,

厶3=/u。A(U。A V风)?VAu。dx.
利用不等式(2.14)和(2.15)可得

厶1+厶2≤2¨UnIlVu。IIH。llVau。J如

12

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≤211u。110。11上k11311Vunll611Vau。 ≤C(1lu。f12+If△unlf2)IIH。11日-llVA让竹ff,
以及 (3.19)

厶3≤上lu。12IVH,-,IIVA训出


Ilu竹慨…IVH,-,IIIIVAu。|I
(3.20)



C(1lu。112-t-IIAunl|2)IIH。11日?IlVau,,11.

观察前面所得的不等式,为了进一步得到乱。的估计,我们得先对日’。作估计.

考察Dirichlet零边值问题(3.3),运用酽.估计可得 }I%IIH:≤O(1lV X,if+}iAu。ii+IIV x V×乱。||)≤C(1 4-|lu。IIH:) ≤C(1-4-(Ilu。112-4-IIAu。112)壹).
(3.21)

结合(3.14),(3.15)式,对矗,毛,如,厶这四项估计求和,运用(3.21)式和Cauchy 不等式可得

石I而a(||U,nIl2--I-||△Ⅱ。112)--I-|fV△u。112≤C(1lu。112--t-II△u。112)#IIVAu。II +C(II珏住112+IIAu,.,It2)2+c(Il嚣。112+lf△珏。112)鼍IIVAu。II罢+C(1lu。112+tlA缸。f12)llVau。 +C(Ilu。112+Ilau。112)鲁llVau。II#-I-C(1lu。112+Ilau。112)吾IlVau竹II

≤去llV△u。112+c(1+(Ilu。112+ll△u。112))5
进一步将不等式右边的项IIVau。ll移到左边可知,存在一个与n无关的常 数C使得


杀(Ilu。|}2+lIAu。112)+IIVAu。112 s c(1+(|l钍竹112+fl△u。112))5
根据Gronwall不等式,存在时间r=T+(I|"of|日。),存在一个正常数a= C(T。,II-ollm)使得对任意的时间T<P有 sup lIu丸(t)II刍。≤C (3.22)
£S1。

,T

/IIVaun(t)俨dt≤G
且利用引理2.3,可得
.,0

/Ilu。(t)惰sdt≤c
sup

(3.23)

进一步,结合(3.21)和(3.22)式可得

IIe.(t)ll备。≤C
II‰(2)}12≤C,

(3.24)

最后利用方程(3.2),有
sup
tS2’
rT

(3.25)

/|JV如(t)||2dt≤C
13

(3.26)

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回看方程(3.4),形式上看来,如果我们能得到或的日1估计,则利用上,p一理论
立即可以得到易;的日2估计.为此,我们在方程(3.3)两端关于时间求导可得
一△(日。+也。)=V×,+V×V×也。, (3.27)

观察此方程,根据妒估计,如果我们能得到V×V׉和△‰的三2估计,或者

说是让。的日4估计,则立马可得反的H2估计.因此,我们从方程(3.2)出发.在
方程(3.2)两端点乘一△3‰并在Q上积分,利用分部积分公式可得

丢翱V△‰112)+伊△UnIl2=Ifl+Ⅱ2+Ⅱ3+Ⅱ4
其中

111=一/V2(IVu。12¨。)V2△乱。如
.,n

112=一/V2(‰A Aun)V2△un如
.,Q

H3=一/V2(u。A日。)V2△u。如
.,n

Ⅱ4=/V2(‰A(u竹A凰))V2△“。如
.,Q

下面则分别对以上四项作估计.首先,利用Sobolev嵌入不等式和不等式(3.22)可 得

111=一~Vunl2V2Ⅱn+4Vun?V2ⅡtlVⅡn+2Iv2unl2札n+2Vun?V3乱n“n).V2△undx ≤(511Vu。il蝥IlV2乱。lI+211u。ll。。llV2u。幅+2llu。jj。。]1w。ll。。flV3u竹11)llv2△u。||
≤c||珏竹IlH:J|乱。f|备s fIV2△仙。JI ≤cII仳nll备s llV2△u。¨’

Ⅱ2=一/(V2un^△让n+2Vun^VAu竹)?V2Au。dx
.,Q

≤(11v2札。113fl△似。lf6+2]lVu。lloollV△让。II)llV2△让。lI

≤Cllu。惰s IIV2Au。||

Y13=一/(V2un A玩+2Vun A V凰+un



V2巩)?VAundx

≤(J|巩||o。IIV2U。||+211vu。116|IV凰113+||乱。JJoollV2H。II)IIV2△u。|I S cll巩II丑:ltu。11日:llV2△‰ll
≤cIIV2△‰Il,

这里用到了不等式(3.22),(3.24).
同样地有 114≤C|fV2△"。n 将前面得到的关于Ⅱ1,Ⅱ2,Ⅱ3,114的不等式加起来并将右边项||V2△Ⅱ。J|移 到左边可得


导(1lVAu。112)-I-J|V2△缸。112≤c(1+llu。J|备s)2
利用不等式(2.13)和(3.22),有

IIu。II刍。=Ilu。112+I[Vu。II刍z
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S s

flu。||2+C(1lW。|12+I[au。02+I[Vau。02)
co+IIVAu。㈣,

从而有

杀(||V△仳。112)+IIv2△u。112≤c(1+IIVau。J12)2,
其中C是不依赖于礼的正常数. 可将上一不等式改写成

杀(||V△u。112)+fIv2Au。112≤Cg(1+IIVau。112),
其中9=1+fIVAu。|f2∈L1(0,T),T<r.¥1J)*Gronwall不等式,对前面所确 定的T。,对任意T<P,存在常数C=C(T,Iluoll嚣s)使得
sup

IIVaun|J2≤G



0V2△u。J|2dt≤C,

不等式(3.22),(3.23)结合引理2.3和2.5可推出
sup

llu。I|备。≤G

/IIu。fl备tdt≤a

(3.28)

另外利用方程(3.2)和不等式(3.25),(3.26)a-丁得

/IIv2也。|12dt≤c,
.,O

tT

/0吐。II备。dt≤D

(3.29)

对方程(3.3)SflI(3.27),注意到,∈啦訾(o,。。;日3),运用护-估计可得
IIHnIIn3≤c(1+||u。11日s),
11目击II丑t


c(1+IIu。lI嚣。),

ll巩IfH。≤C(1+l J“IIH=).
因此,结合不等式(3.28)和(3.29)即得
。ssuTp

IIH.II备s≤c,Jo

lI凰惰础≤G
,.T

Jo

il也llh:dt<C.

(3?30)

进一步对方程(3.4)应用胪一估计即得


数札,HD,E{)满足
Un一铭 Utl—心

ll玩幢rs疵≤D

(3.31)

一致估计(3.28)一(3.31)说明,存在子列(仍用原记号)u。,凰,晶,存在函
in

L2(o,E日4(Q))weak, L2(o,T;H2(Q))weak,

in工oo(o,正H5(Q))weak.,
in

如一也
豆k—。嚣’D

tn£2(o,T;H4(Q))weak, in工”(o,T;H3(Q))weak.,
in in

丑k一日D

鼠一直D
E。一Ef

L2(O,T;H2(Q))weak,
L2(o,T;H3(Q))weak,

15

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由Aubin引理和Sobolev嵌入定理可得 in L2(o,T;H3(Q))stron9, 让n_u
un一¨

‰_u

巩_HD
日★.÷HD

取_÷1tD

in∥(o,T;H2(Q))strong,V 1<P<00, in C(O,T;H2(Q))strong, in L2(o,T;H3(Q))strong, in rP(O,T;H2(Q))strong,V l<P<∞, in C(O,T;日2(Q))stro'a9,
L2(o,T;H2(Q))strong.

晶_E{)in

因此,可在方程(3.2)一(3.4)中取极限,令n_oo,则可得函数u,HD 方程

E2满足

f也一Au=IVul2u+ⅡA(△札+HD)一t正A(札A HD) I一△(日D+乱)=v×,+V×V {△E?=v×(矗D+也)
X“

l雾№=HDIon=E210Q=0
l u(O,z)=uo(x),

(t,z)∈[0,T)×Q, (t,z)∈【0,T)×Q, (△1) (t,z)∈【0,T)×Q, (△2) (t,z)∈[0,T)×aQ,
z∈s2?

命题3.1.v.(HD+乱)=0,V?E2=0

a.e.@,z)∈(0,T)×Q. (3.32) (3.33)

证明:改写方程(△1),(△2)为, V X V X HD—v(V.(日D+t上))=V×,
一v


v×E2+v(v.E仝)=V×(直D+也)

对任意函数qo∈帮(Q),存在唯一函数≯∈曙(Q)满足△咖=妒.令u=
V咖∈C铲(Q),在方程(3.32)两端点乘u并在Q上积分,利用分部积分公式可得



/v.(日D+u)v.wdx=/(,一V×Ito)?V×wdx
‘,‘2 ,

=/(,一V×日D)?V×(V4D)dx=0.
也就是说,对V妒∈C铲(Q),都有

/V.(日D+u)妒=0,
所以 v.(日D+u)=0 同样可得 n.e.(t,z)∈(0,T)×Q o.e.∽z)∈(0,T)X


v.E2=0
命题证毕.接下来只要证明lUI=1.

由文献[4】可知fuI=1.为了本文的完整性,我们在这里也给出类似证明.
在方程(3.1)两端点乘U可得

去丢lul2一乱?△u—IVul2M2=0(t,z)∈(o,T)×Q?
因为乱∈Lo。(o,T;H3(Q)),所以下列等式有意义 zX(1u12)=2u?△缸+21v,【f12, 则方程(3.34)可写成

(3?34)

吴汗一ZXlul2—21vul2(f仳12—1)=0.
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记b=M2—1,则6是下列方程组的解

f b一/Xb一21Vul2b=0

(★)

{瓦Ob Ion=0
I 6(o)=Iuol2—1=0
注意到札∈Loo(0,T;H3),且supo<t<?Ilulls3≤C,所以V仳∈L。(o,r;H2)q
三o。(0,T;Q),即有

lIV珏II泸(o,T;Q)S
鬲a..bll2+llV6lf2




在方程(★)两边点乘b并在Q上积分得能量不等式

llWll蝥llbll2≤cllbll2

由Gronwall不等式可得Ilbll2=0. 由此即得luI=1,a.e.(t,z)∈[0,卅×Q.所以方程(3.1)与方程(1.1)是等价

的,所得函数U,HD,Ef是方程(1.1),(1.2),(1.4)解.
注记3.2前面对于*玫降囊恢鹿兰埔彩视糜诤ㄈ茫龋模牛模簿


是说函数(u,HD,E2)满足不等式

Ilul|备。+IIHD||备s+/(If缸||备?+11HDII备。+|I训I备:+11/:/Dff备。+||砰If备。)打s D(3.28)
JO

其中亡<P.

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4.定理1.2的证明

设(缸1,砰,E&)*O(u2,础,磁)是方程组(1.1),(1.2),(1.4)的两组解.令P=
min(玎,写),札=Ul—U2,H=日P一日f,E=E&一Ea,,=^一,2.贝,lJu,H,E
是下列方程组的解

it一△u=IVull2U+U A(△u1+HiD)+"It2 A(△t正+日) +V乱?(Vul+Vu2)u2一让A(Ul A日?) 一让2 A(U A丑f)一U2 A(u2 A日‘),
一△(日+t‘)=V×,+V×V×u, AE=V×(H+吐),

(4.1)

券旧Q=Hlon=ElaQ=0,
t正0=让0】一'U,02.

在方程组(4.1)的第一个方程两端点乘U并在Q上积分,利用不等式(3.2S),-I 得不等式

三丢川uIl2)+IIV札112≤c川仳112+IIA圳札II+IIHIIIIⅡII+IIV扎IIII乱II)
≤C(1l'.'112+lIA铭112+ll缸f|备,+lIHIl2)
在同一方程两端点乘/X2u并在Q上积分,分部积分可得

(4.2)

三鬲d(||△“112)+lirauIl2=∑1+∑2+∑3+∑4+∑5+∑6+∑7,
其中

(4.3)

E1=一/V(IVu]12u)?VAudx, ∑2=一/v(u A(△t‘1+HID))?VAudx,
.,n

∑3=一/V(u2 A(△札+日))?VAudx ∑4=一/V(Vu?(VUl+Vu2)u2)?VAudx,
.,Q

∑5=7 V(u A(Ul
-,n



H.D)),VAudx,

E6=/V(u2

A(u



H1D)).VAudx,

E7=/V(u2 A(u2 A日))?VAudx,
根据Sobolev嵌入不等式和不等式(3.2s),易得如下不等式 E1≤CllullHl lIVAull, E2≤CllullH2 IIVAull,
∑3 S

C(IIAulI+fIHIIH,)IIVAull,
∑4≤CllullH2 IIvAuII,

£5≤ClJ札||H,IIVAull,
∑6≤cII札11日?lIvAuII,
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∑7≤ClIHl|H,fIvaull,
应用以上不等式和等式(4.3),有




弓l—a∥.a让112)-I-IlVZ∑ull2≤C(1lull日。-t-l|日ffH,)IIVA乱II, 对于日,对方程组(4.1)的第二个方程用驴.估计可得
IIHI[H2≤C(||州日,+JJu J|日:)

(4.4) (4.5)

利用引理2.3和不等式(4.2),(4.4),(4.5),并将右端项||V△u||移到左边得

羞(fIuIl2+IIAull2)+I|V△u JJ2≤C(1lull2+J|△u||2-I-IIsll备。),
根据Gronwall立即可得
,T

Ilull2+IIAuIl2+正IIVAull2dt≤C(T)(IluolIH。+|I,||苎。(o,?;日。)), ~
到此,定理1.2证毕.

19

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21


谢!



本文是在我的导师丁时进教授的悉心指导下完成的,在此向他表示衷心的感 毕业在即,回想起三年来丁老师对我这个”独生女”的谆谆教诲,严格要求,悉 心指导和热心帮助,内心深处的感恩之情油然而生.恩师不仅授予我知识,培养 我独立刻苦的学*态度,更教会了我许多做人的道理.恩师严谨治学,认真工作, 宽容待人,严于律己,关心弟子的学*和生活,这些都潜移默化地影响着我,并将 伴随着我走上新的人生之旅. 同时,我要感谢数学科学学院中教导和帮助过我的老师们,特别感谢易法槐 教授,耿堤教授,林长好教授等,感谢师母莫萍老师对我生活上的关心和照顾. 三年的研究生生活是艰辛的,同时也是快乐而有意义的.感谢与我共同度过 了这段美好而难忘时光的学友们.在学*上的相互讨论与鼓励以及在生活上的 相互帮助使我们结下了深厚的友谊.特别要感谢杨慧园,陈思远,陈映珊等同学. 另外,我要感谢一起参加讨论班的师兄师姐师弟师妹们,特别感谢寇艳蕾,林俊 宇,温焕尧等,跟他们一起讨论问题让我受益匪浅! 最后,我要感谢我的家人对我的学业一直以来的默默支持!感谢我的朋友们 给予我的鼓励和帮助!

三维Landau-Lifschitz方程耦合Darwin模型的局部正则解的 存在性和唯一性
作者: 学位授予单位: 陈美凤 华南师范大学

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